高数极限证明（共6篇）

第1篇：高数极限

1.代入法, 分母极限不为零时使用.先考察分母的极限,分母极限是不为零的常数时即用此法.【例1】lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1) lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1) =(3-3)/(9+3+1)=0 【例2】lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx =(lg1+e^0)/arccos0 =(0+1)/1 =1 2.倒数法,分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时使用.【例3】 lim[x-->1]x/(1-x) ∵lim[x-->1] (1-x)/x=0 ∴lim[x-->1] x/(1-x)= ∞ 以后凡遇分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时,可直接将其极限写作∞.3.消去零因子（分解因式）法,分母极限为零,分子极限也为零,且可分解因式时使用.【例4】 lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x) lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x) =lim[x-->1](x-1)^2/[x(x^2-1) =lim[x-->1](x-1)/x =0 【例5】lim[x-->-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6) lim[x-->-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6) = lim[x-->-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)] = lim[x-->-2]x(x+1) / (x-3) =-2/5 【例6】lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4) lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4) = lim[x-->1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)] = lim[x-->1](x-2) /[(x-1) =∞

【例7】lim[h-->0][(x+k)^3-x^3]/h lim[h-->0][(x+h)^3-x^3]/h = lim[h-->0][(x+h) –x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h = lim[h-->0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2] =2x^2 这实际上是为将来的求导数做准备.4.消去零因子（有理化）法,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,但可有理化时使用.可利用平方差、立方差、立方和进行有理化.【例8】lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x = lim[x-->0][√1+x^2]-1] [√1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝ = lim[x-->0][ 1+x^2-1] /｛x[√1+x^2]+1]｝ = lim[x-->0] x / [√1+x^2]+1] =0 【例9】lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3)) lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3)) =lim[x-->-8][√(1-x)-3] [√(1-x)+3] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)] ÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)] [√(1-x)+3]} =lim[x-->-8](-x-8) [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]} =lim[x-->-8] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3] =-2 5.零因子替换法.利用第一个重要极限：lim[x-->0]sinx/x=1,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,不可有理化,但出现或可化为sinx/x时使用.常配合利用三角函数公式.【例10】lim[x-->0]sinax/sinbx lim[x-->0]sinax/sinbx = lim[x-->0]sinax/(ax)*lim[x-->0]bx/sinbx*lim[x-->0]ax/(bx) =1*1*a/b=a/b 【例11】lim[x-->0]sinax/tanbx lim[x-->0]sinax/tanbx = lim[x-->0]sinax/ sinbx*lim[x-->0]cosbx =a/b 6.无穷转换法,分母、分子出现无穷大时使用,常常借用无穷大和无穷小的性质.【例12】lim[x-->∞]sinx/x ∵x-->∞ ∴1/x是无穷小量 ∵|sinx|∞]sinx/x=0 【例13】lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1) lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1) = lim[x-->∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2) =1/2 【例14】lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1) lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1) =lim[n-->∞][n( n+1)/2]/(2n^2-n-1) =lim[n-->∞][ (1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2) =1/4 【例15】lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50 lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50 = lim[x-->∞][(2x-3)/ (5x+1)]^20[(3x+2)/ (5x+1)]^30 = lim[x-->∞][(2-3/x)/ (5+1/ x)]^20[(3+2/ x)/ (5+1/ x)]^30 =(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50

第2篇：高数极限习题

第二章 导数与微分

典型例题分析

客观题

例 1 设f(x)在点x0可导,a,b为常数,则limf(x0ax)f(x0bx)xabx0(

)

f(x0) Aabf(x0)

B(ab)f(x0)

C(ab)f(x0)

D

答案 C

解

f(x0ax)f(x0bx)limx0x[f(x0ax)f(x0)][f(x0bx)f(x0)]lim x0x

f(x0bx)f(x0)f(x0ax)f(x0)blim

alim

x0x0bxax

(ab)f(x0)

例2（）设f(x)在xa的某个邻域内有定义,则f(x)在xa处可导的一个充分条件是(

) 1f(a2h)f(ah) (A)limhfaf(a)存在

(B)lim存在

h0hhh (C)limf(ah)f(ah)2hh0存在

(D)limf(a)f(ah)h存在

h0答案 D

解题思路

(1) 对于答案(A)，不妨设

1hx，当h时，x0，则有

1f(ax)f(a)limhfaf(a)lim存在，这只表明f(x)在xa处hx0hx右导数存在,它并不是可导的充分条件,故(A)不对.

(2) 对于答案(B)与(C),因所给极限式子中不含点a处的函数值f(a)，因此与导数概念不相符和.例如，若取

1,xaf(x)

0,xa则(B)与(C)两个极限均存在，其值为零，但limf(x)0f(a)1，从而f(x)在

xaxa处不连续，因而不可导，这就说明(B)与(C)成立并不能保证f(a)存在，从而(B)与(C)也不对. (3) 记xh,则x0与h0是等价的,于是 limf(a)f(ah)hh0limf(ah)f(a)hh0limf(ah)f(a)h

h0x所以条件D是f(a)存在的一个充分必要条件.

例3(00103)设f(0)0,则f(x)在点x0可导的充要条件为( ) x0limf(ax)f(a)f(a) (A)lim1h1h2h0f(1cosh)存在 (B)lim1h1hh0f(1e)存在

h (C)limh02f(hsinh)存在 (D)limh0f(2h)f(h)存在

答案 B

解题思路

(1) 当h0时, 1coshhh02limf(1cosh)h2h0lim2f(1cosh)f(0)h21.所以如果f(0)存在,则必有

limf(1cosh)f(0)1coshh0lim1coshh2h0若记u1cosh,当h0时,u0,所以

f(1cosh)f(0)f(u)f(0)limlimf(0) h0h01coshu于是

limf(1cosh)h2h012f(0)

1h2这就是说由f(0)存在能推出limh0f(1cosh)存在.

h0,而不是u0,因此 但是由于当h0时,恒有u1cos1f(x)f(0)f(0)limlim2f(1cosh)存在只能推出存在,而不能推出f(0)h0hx0x存在.



(2) 当h0时, 1eho(h),于是

hlimf(1e)hhh0limf(ho(h))f(0)hh0limf(ho(h))f(0)ho(h)

h0 由于当h0时, ho(h)既能取正值,又能取负值,所以极限limf(ho(h))f(0)ho(h)h0存在与limf(h)f(0)hh0f(0)存在是互相等价的.因而

极限lim1hh0hf(1e)存在与f(0)存在互相等价.(3) 当h0时, 用洛比塔法则可以证明limlimf(hsinh)h2h0,所以 6hf(hsinh)f(0)hsinhlimlimh 3h0h0hsinhhh03hsinh1由于h0,于是由极限limf(hsinh)f(0)hsinhh0limhsinhh3h0h存在未必推出hsinh(4)f(x)在点x0可导一定有(D)存在,但(D)存在不一定f(x)在点x0可导. h0limf(hsinh)f(0)也存在,因而f(0)未必存在. 例 4 () 函数f(x)(xx2)|xx|有( )个不可导点

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

答案 C

解题思路 当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有可能出现在函数的零点,因为函数零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点x00,x11,x21考察导数的存在性. 解 将f(x)写成分段函数:

23(x22(xf(x)2(x(x2x2)x(1x),x2)x(x1),x2)x(1x),x2)x(x1),2222x1,1x0,0x1,1x.

(1) 在x00附近,f(x)写成分段函数:

22x(xx2)(x1),x023 f(x)(xx2)|xx|22x(xx2)(1x),x0容易得到

f(x)f(0)22f(0)limlim(xx2)(x1)2

x0x0xf(x)f(0)22f(0)limlim(xx2)(1x)2

x0x0x由于f(0)f(0),所以f(0)不存在.(2) 在x11附近,f(x)写成分段函数:

2x(1x)(xx2)(1x),x123f(x)(xx2)|xx|

2x(1x)(xx2)(x1),x1f(x)f(1)2f(1)limlimx(1x)(xx2)4

x1x1x1f(x)f(1)2f(1)limlimx(1x)(xx2)4

x1x1x1由于f(1)f(1),所以f(1)不存在.(3) 在x21附近,f(x)写成分段函数:

2x(1x)(xx2)(x1),x123f(x)(xx2)|xx|

2x(1x)(xx2)(x1),x1f(1)limf(x)f(1)x1x0x1由于f(1)f(1)0,所以f(1)存在.x1f(1)limx1f(x)f(1)limx1x(x1)(x22x2)0

limx(x1)(xx2)0

综合上述分析,f(x)有两个不可导的点.

例5 () 设f(x)具有一阶连续导数,F(x)f(x)(1|sinx|),则f(0)0是F(x)在x0处可导的(

)

(A)必要但非充分条件

(B)充分但非必要条件

(C)充分且必要条件

(D)既非充分也非必要条件

答案 C

分析 从F(x)在x0的导数定义着手.将F(x)f(x)(1|sinx|)f(x)f(x)|sinx| 解

F(x)F(0)f(x)f(0)f(x)|sinx|f(0)|sin0|limlimF(0)lim

x0x0x0x0x0x0

f(0)f(0)

f(x)f(0)f(x)|sinx|f(0)|sin0|F(x)F(0)limlimF(0)lim

x0x0x0x0x0x0f(0)f(0)

于是推知F(0)F(0)的充分必要条件是f(0)0. 例6 () 设函数f(x)3xx|x|,则使f32(n)(0)存在的最高阶数n().(A)0

(B)1 (C)

2(D)3

答案 C

解题思路 应先去掉f(x)中的绝对值,将f(x)改写为分段函数

2x3 f(x)3xx|x|34x32x0x0x0x0

2x3 解 由f(x)3xx|x|34x32

6x2得f(x)212xx0x0

12x且f(x)24x又f(0)limx012 f(x)x024x0x0x0

f(x)f(0)x0limx02x03x00,f(0)limf(x)f(0)x0x0limx04x03x020

所以f(0)存在.f(0)limf(x)f(0)x0x0limx06x0x012x0 00 f(0)limf(x)f(0)x02limx0x0x0所以f(0)存在.f(0)limf(x)f(0)x0x0limx012x0x012

x0即f(0)f(0).因而使fx0f(0)limf(x)f(0)24

x0(n)(0)存在的最高阶数是2.

x0lim24x0

例7 f(x)cos|x|x2|x|存在的最高阶导数的阶数等于(

)

A

0

B 1

C 2

D 3 答案 C

2 解题思路 注意cos|x|cosx,所以只需考察x|x|在点x0的情况.

例8()设0,f(x)在区间(,)内有定义，若当x(,)时，恒有f(x)x，则x0必是f(x)的(

)

(A)间断点，

(B)连续而不可导的点，，

(C)可导的点，且2f'(0)0

(D)可导的点，且f'(0)0

答案

C

解 由题目条件易知f(0)0,因为

|所以由夹逼定理

f(x)f(0)x||f(x)xf(x)x||x2x|

2lim|x0f(x)f(0)x|lim|x0|lim|x0xx|0

于是f(0)0.

1ex,x0,

则f(0)为(

)

例9 ()设f(x)x0,x0.

1(A)0

(B)

(C)1

(D)1

2答案

(C)

解题思路

因f(x)为分段函数,故它在分段点处的导数应按导数的定义， 又由于是未定式,可用洛必达法则求极限.

200型解

1e f(0)limx2f(x)f(0)x0ulimx0x0xx00lim1exx2x02x

2当u0时,e 1与u是等价无穷小,所以当x0时,1e与x是等价无穷小.因而

2lim1exx2x021

12,则x0时,f(x)在x0处的微分dy与

例10 () 设f(x)可导且f(x0)x比较是( )的无穷小.

(A)等价 (B)同阶 (C)低阶 (D)高阶

答案 B

解题思路

根据yf(x)在xx0处的微分的定义:dyf(x0)x.

x12 解 limlim,可知dy与x是同阶的无穷小.x0xx0x21xsin,x0

例11 () 函数f(x)在x0处(

) xx00,dy

(A)连续,且可导

(B)连续,不可导

(C)不连续

(D)不仅可导,导数也连续

答案 B

解题思路

一般来说,研究分段函数在分段点处的连续性时,应当分别考察函数的左右极限;在具备连续性的条件下,为了研究分段函数在分界点处可导性,应当按照导数定义,或者分别考察左右导数来判定分段函数在分段点处的导数是否存在.因此,本题应分两步: (1) 讨论连续性; (2) 讨论可导性.

解 (1) 讨论函数在点x0处的连续性

10f(0),可知函数f(x)在点x0处是连续的.

由于limf(x)limxsinx0x0x

(2) 讨论函数在点x0处的可导性

1xsin0f(x)f(0)1xlimlimsin

由于lim不存在,所以,函数f(x)在点

x0x0x0x0xxx0处不可导.

x

例12 设f(x)p必须满足(

) p1sin01x,x0,x0 在点x0可导,但是f(x)导数在点x0不连续,则

A0p1

B1p2

C0p2

D1p

3 答案 B

解题思路

(1) 当p1时,下述极限不存在: x因此f(0)不存在.当p1时, x0limf(x)f(0)xsinlimx0p1xlimxp1sin1

x0xxx所以f(0)0limf(x)f(0)xsinlimx0p1xlimxp1sin10

x0xx这就是说,只有当p1时, f(0)才存在,所以选项A,C可以被排除.

(2) 当p1时

0,x0 f(x)11p1p2sinxcos,x0pxxx当且仅当p20,即p2时,limf(x)0f(0),所以当且仅当1p2时,

x0f(x)在点x0可导,但是f(x)在点x0不连续.例13 ()设f(x)可导，且满足条件limf(1)f(1x)2x12x01,则曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线斜率为(

) (A)2,

(B)2,

(C),

(D)1

答案 B

解 记ux,则有

f(1)f(1x)1f(1u)f(1)1limlimf(1) x02x2u0u2

例1

4设yln(12x),则y

(A)(10)(

)

9!(12x)10

(B)9!(12x)10

(C)10!2910(12x)

(D)9!(12x)

答案 D

解题思路

求高阶导数的一般方法是: 先求出一阶、二阶、三阶导数;找出规律,即可写出高阶导数.2y, 12x21y(2)(1)(2)(1)(2)

22(12x)(12x)y(2)(1)(2)(2)2(12x)3

y(10)9!(12x).

2 例17

() 设函数f(x)有任意阶导数,且f(x)f(x),则f(n)(x)(n1),(n2).

n1(A)n!f(x) (B)nf(x) (C)f2n(x) (D)n!f2n(x)

答案 A

解题思路 这是一个求高阶导数的问题,涉及到求抽象函数的导数.

2 解

由f(x)有任意阶导数且f(x)f(x),可知

2f(x)f(x)32f(x)f(x)2f(x)ff(x)2f(x)32f(x)f(x)3!f2(n)n12(x)2f(x), (x)

34依此由归纳法可知 f(x)n!f(x)

注意 (1) 当n1,n2时虽然(B)也正确,但当n2就不正确了,所以将(B)排除之;

222 (2) 在求导数f(x)时,可将函数f(x)看成是由yt与tf(x)复合而成的,(t)f(x)2tf(x)2f(x)f(x).(初学者可能会这样做:f(x)2f(x),后面丢掉一个因子f(x).则根据复合函数的求导法则,故f(x)222

例18 () 若曲线yxaxb和2y1xy在点(1,1)处相切，其中

23a,b是常数,则(

) (A)a0,b

2(B)a1,b3

(C)a3,b

1(D)a1,b1

答案 D

解题思路

两曲线在某点相切就是指两曲线在此公共点处共一条切线,从而两曲线的斜率也应相等.

解

曲线yxaxb在点(1,1)处的斜率是

2k1(xaxb)2x1(2xa)x132a

另一条曲线是由隐函数2y1xy确定,该曲线在点(1,1)处的斜率可以由隐函数求导数得到: 对于方程2y1xy两边求导得到2y3xyyy,解出y得到此曲线在点(1,1)处的斜率为

k2yx1y1323y3223xy1

x1y12令k1k2,立即得到a1.再将a1,x1,y1代入yxaxb中得出b1.

例19设f(x),g(x)定义在(1,1)，且都在x0处连续，若g(x)x0f(x)x，则(

) x02(A)limg(x)0且g'(0)0,

(B)limg(x)0且g'(0)1

x0x0(C)limg(x)1且g'(0)0

(D)limg(x)0且g'(0)2

x0x0 答案 D

解题思路 分析函数f(x)的表达式,并运用f(x)在x0处连续这一关键条件.

解 既然f(x)在x0处连续,于是必有limf(x)limx0g(x)xx02,于是必有limg(x)0.于是又有g(0)limx0g(x)g(0)xx0limg(x)xx02.

1cosx 例 20 () 设f(x)x2xg(x)x0x0 其中g(x)是有界函数,则f(x)在x0处( ) (A) 极限不存在 (B) 极限存在,但不连续

(C) 连续,但不可导 (D) 可导

答案 D

解题思路

若能首先判定f(x)在x0处可导,则(A)、(B)、(C)均可被排除. 解

x f(0)lim21f(x)f(0)x0x0x2limx01cosx3limx023limx0x2x)

2x220

(x0时1cosx~ f(0)lim2f(x)f(0)x0xx0由于f(x)在x0点的左导数等于右导数,因而 f(x)在x0处可导.x0x0limxg(x)2limxg(x)0（g(x)是有界函数）

 例21 设f(x)sinx,则(f(f(x)))( ) (sinx)cosx (sinx)cosx (cosx)sinx (cosx)sinx

答案 A

例 22 设f(x)是可导函数,则( ) A.若f(x)为奇函数,则f(x)为偶函数B.若f(x)为单调函数C.若f(x)为奇函数,则f(x)为奇函数D.若f(x)为非负函数 答案 A

解题思路 根据导数定义,利用函数的奇性. 解 由于f(u)f(u),所以

,则f(x)为单调函数

,则f(x)为非负函数

f(x)limlimf(xx)f(x)xf[x(x)]f(x)x0limf(xx)f(x)x

x0x因此f(x)为偶函数. x0f(x) 例23 设yesinsin22x,则dy( ) sin2 答案 D

解题思路 运用复合函数微分法

例 24 设f(0)存在,lim(1x0xxsin2xsincosx

1cosf(x)sinx1)xe,则f(0)( ) C.答案 C

解 由

2

lim(1x01cosf(x)sinx1)xe

可以知道当x0时,有

lim(参阅第一章的例2)

x011cosf(x)1 xsinxf2当x0时,sinx与x是等价无穷小,1cosf(x)与

(x)2是等价无穷小.于是

f(x)11cosf(x)1limlim1 2x0xx0sinx2x又因为f(0)存在,所以此式又推出 f(0)limf(x)xx022.

1,x0arctan 例 25 设f(x) 在点x0可导,则( ) xaxb,x01,b2 1,b0 1,b2 1,b2

答案D

解题思路 先考察函数在点x0左右极限,确定连续性,再考察左右导数.由可微性最终确定a,b. 解

1,所以b.(1) limf(x)lim(axb)b,limf(x)limarctanx0x0x22x0x0于是f(0)2.(2) f(0)a,f(0)limx0f(x)f(0)arctanlimx01xx2

xarctan1xx2: 以下需要用洛比塔法则求极限limx0

arctanlimx01x2lim(arctan1xx2)limx01x2xx0于是由f(0)f(0)推出a1

11

例26.() 若f(x)f(x),且在(0,)内f(x)0,f(x)0,则f(x)在(,0)内必有

(A)f(x)0,f(x)0 (B)f(x)0,f(x)0

(C)f(x)0,f(x)0 (D)f(x)0,f(x)0 答案 C

解体思路 所给函数显然是奇函数,因此f(x)是偶函数,f(x)是奇函数.解 由f(x)0,x(0,) 知f(x)0,x(,0); 由f(x)0,x(0,) 知f(x)0,x(,0).

第3篇：高数_极限[1]

求函

摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。

关键词：函数极限

引言

在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。

主要内容

一、求函数极限的方法

1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: limx3x2x22x21

证: 由 x23x2x21x24x4x2

x22x2x2

0 取 则当0x2 时,就有

x23x2x21

由函数极限定义有: 2limx3x2x2x21

2、利用极限的四则运算性质

若 limf(x)A limg(x)B

xx0xx0(I)limf(x)g(x) limf(x)xxlimg(x)AB

0xx0xx0(II)limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB

xx0xx0xx0(III)若 B≠0 则：

limlimf(x)xf(x)0Axxg(x)x0limxxg(x)B

0IV）limcf(x)climf(x)cA （c为常数）

xx0xx0上述性质对于x,x,x时也同样成立

2

（

例：求 limx3x5x422 2x2解: limx3x523255x2x4=

242

3、约去零因式（此法适用于xx0时,00型例: 求32limxx16x20x37x216x12

x2解:原式=limx33x210x(2x26x20)x2x35x26x(2x210x12)

lim(x2)(x23x10)(x2)(x x225x6)=(x2lim3x10)5)(x2)x2(x25x6)=

xlim(x2(x2)(x3)=x5x37

xlim

24、通分法（适用于型） 例: 求 lim(41x24x22x)

解: 原式=lim4(2x)(2x)(2x)

x2=lim(2x)(2x)(2x)

x23

=

=lim12xx214

5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）

设函数f(x)、g(x) 满足： （I）limf(x)0

xx0(II) g(x)M (M为正整数) 则：limg(x)f(x)0

xx0例: 求 limxsin1x

x0 解: 由 lim0 而 sin1x1

x0x故 原式 =limxsin1x0x0

6、利用无穷小量与无穷大量的关系。

（I）若：limf(x) 则 lim1f(x)0

(II) 若: limf(x)0

且

f(x)≠0 lim1f(x)

例: 求下列极限 ① lim1lim1xx5 ②x1x1

则4

解: 由 lim(x5) 故 limx1x5x0

由 lim(x1)0

故

x1lim1x1x1=

7、等价无穷小代换法

设,',,' 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：

'' 则 lim~,~，

lim'' 存在， = lim'' 也存在，且有lim1cosxxsinx222

例:求极限lim 解: sinx22x0

2~x, 1cosx~(x)222

(x) lim221cosxxsinx222x0=

12222xx

注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”

8、利用两个重要的极限。

(A)limsinx1 (B)lim(11x0xx)xex

但我们经常使用的是它们的变形：

(A')limsin(x)(x)1,((x)0)

(B')lim(11x))(x)(e,((x))例：求下列函数极限

x(1)、lima1 (2)、limlncosaxx0xlncosbx

x0x1u,则 xln(1u)ax 解：（1）令a1alna 于是xulnln(1u) 又当x0时，u0x故有：lima1lnax0xlimulnau0ln(1u)limlnau0ln(1u)limu01lnauln(1u)u(2)、原式limln[(1(cosax1)]ln[1(cosbx1)]

x0limln[(1(cosax1)]cosbxx0cosax11cosax1 ln[1(cosbx1)]cosbx1limcosbx1x0cosax1

2sin2sinlimx02a2x)2x(bx)222b2xlimxx0(a222sin2sin(b222ba2ax(x)222b

x)

9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。

(i)若f(x)在xx0处连续，则(ii)若f[(x)]是复合函数，又f(u)在ua处连续，则xx0xx0limf(x)f(x0)xx0lim(x)a且xx0

limf((x))f[lim(x)]f(a)例：求下列函数的极限

(1)、limecosx51xln(1x)2xx0

（2）

f(x)ecosx5xln1(x)limx0x

解：由于x0属于初等函数故由函数的连续性定义limecosx51xln(1x)ln(1x)x12x1xln(1x)2的定义域之内。有：f(0)61x0

(2)、由ln(1x)x令x(1x)x故有：limln(1x)x11x0limln(1x)xln(lim(1x)x)lne1x0x0

10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同

的极限类型）特别地有：

llimxkn1x1mlnk m、n、k、l 为正整数。

xm1例：求下列函数极限 ① lim11nmxxx1(m、n N) ②lim(2x3)

x1x2x1 解: ①令 t=原式=limt1mnx 则当x1 时 t1,于是

mn1t1tlim(1t)(1ttt(1t)(1ttt22x12)x12m1n1))t12mn

②由于lim(2x3)=lim(1x1x2x1x

令：2x11 则 x111

2ttlim(x2x32x1)x1=lim(1x22x11t)x1=lim(1t)t0111t2

=lim(1t)t0lim(1t)2e1e

t0

11、

利用函数极限的存在性定理

定理: 设在x的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤0h(x) 且有: limxx0g(x)limh(x)A

xx0 则极限 lim

xx0f(x)

存在, 且有

xx0limf(x)A

xanx例: 求 limx (a>1,n>0) 解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使 k ≤x≤k+1 于是当 n>0 时有:

xanx(k1)akakn

kank及

xanxnk11a

又 当x时,k 有 lim(k1)akaknklim(k1)akankk1nka0a0

及 lim nkk1 lim=0 k1a01a0

xlimxanx

12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。 定理：函数极限lim左极限lim xx0xx0f(x)存在且等于A的充分必要条件是

A。即有：

9 f(x)及右极限limf(x)都存在且都等于

xx0

limf(x)Alimx)=A xxxxf(x)=limf(00xx012ex,x0例：设f(x)=xx,0x1 求limf(x)及limf(x) xx0x1x2,x1解：limxf(x)lim(12e)1x0x0limx)limxx

)limx1)1x0f(x0(xx0(由limx)limx)1x0f(x0f(

limf(x)1

x0又limxxf(x)limlim（x1)0x1x1xx1 lim(x)lim21x1fxx1

由f(10)f(10)lim1f(x)不存在x

13、罗比塔法则（适用于未定式极限） 定理：若

(i)limxxf(x)0,limg(x)00xx0(ii)f与g在xu0(x'0的某空心邻域0)内可导，且g(x)0(iii)limf'(x)xxg'(x)A(A可为实数，也可为或），则

0limf(x)limf'(x)xx0g(x)xxg'(x)A0此定理是对00型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。

注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：

1、要注意条件，也就是说，在没有化为0,时不可

0求导。

2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。

3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。

4、当limf(x)g(x)''xa 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。

例： 求下列函数的极限 ①lime(12x)ln(1x)2x12x0 ②lime(12x)12x12lnxxax(a0,x0)

解：①令f(x)=

f(x)e(12x)'x, g(x)= ln(1x)

2, g"'(x)2x1x2

2f(x)e(12x)"x32,g(x)2(1x)(1x)'22

由于但f "f(0)f(0)0,g(0)g(0)0"'

(0)2,g(0)2

从而运用罗比塔法则两次后得到

lime(12x)ln(1x)2x12x0lime(12x)2x1x2x12x0lime(12x)2(1x)(1x)222x32x0221

② 由lim法则有： xlnx,limxxa 故此例属于型，由罗比塔1xlimlnxxalimxaxa1xlim1axax0(a0,x0)

14、利用泰勒公式

对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：

1、ex1xx22!x3xnn!o(x)

n

2、sinxx3!x2x55!x4(1)n1x2n1(2n1)!no(x2n)

3、cosx12!4!2(1)x2n(2n)!o(x2n1)

4、ln(1x)x

5、(1x)

6、11xx2(1)n1xnno(x)n

n!xo(x)nn1x2(1)2!xnn2(1)(n1)

 1xxxo(x)n

上述展开式中的符号o(x)都有:

nlimo(x)x0xn0

例:求lima2xaxx(a0)

x0解:利用泰勒公式，当x0 有

1x1x2o(x)

于是 lima2xax0x

x=a(12xlima1xa)0x

xa1(2x)o(x)11x=1lim2a2ao(x)0x

x(x)=ax(x)1lim2aoxlim2axox0x1

x02a

15、利用拉格朗日中值定理 定理:若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导 则在(a ,b)内至少存在一点,使得f'()f(b)f(a)ba

此式变形可为: f(b)f(a)baf(a(ba)) (01)'

例: 求 limxeexsinxx0xsinx

解:令f(x)e 对它应用中值定理得

eexsinxf(x)f(sinx)(xsinx)f(sinx(xsinx)) (01)''即: eexsinxxsinx'f(sinx(xsinx)) (01)

f(x)e'x连续

'limf(sinx(xsinx))f(0)1

x0从而有: limeexsinxx0xsinx1

16、求代数函数的极限方法 (1)有理式的情况，即若: R(x)P(x)Q(x)a0xmna1xm1n1ambnb0xb1x (a00,b00)

(I)当x时，有

mnm1n1limP(x)Q(x)xlima0xa1xambnxb0xb1xa0 mnb00 mn mn

(II)当x0 时有:

①若Q(x②若Q(x③若Q(x0)0 则 lim0P(x)Q(x)x0P(x0)Q(x0)

P(x)Q(x))0 而 P(x0)0 则lim0

x0)0,P(x0)0,则分别考虑若x0)P1(x)s为P(x)0的s重根,即:P(x)(xx0 也为Q(x)0的r重根,即: Q(x)(xx0)Q1(x)r 可得结论如下：

0 , srsr(xx0)P1(x)P1(x0)P(x)limlim , sr xx0Q(x)xx0Q1(x)Q1(x0) ,sr例：求下列函数的极限

①lim(2x3)20(3x2)5030x(2x1) ②limx3x2x4x343x1

解: ①分子，分母的最高次方相同，故

lim(2x3)20(3x2)5030x(2x1)3=

220()2

②P(x)x43x2,P(1)0

Q(x)x4x3,Q(1)0

P(x),Q(x)必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有: limx3x2x4x343x1lim(x1)(x2)(x1)(x2x3)222x1limx2x2x32x112

15

(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。

例：求lim解: limxx(xxxxx)

(xxxxx)

limxxxxxxxx1x1x3xxlim

xxxx1limx11211x

二、多种方法的综合运用

上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。 例:求 lim1cosxxsinx222x0

[解法一]: lim1cosxxsinx222x0

16

lim2xsinx2222x02xxcosx2xsinxsinx2

limsinx2222x0xcosxsinx

limx22x0cosxsinxx22=1

2注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。

[解法二]: lim1cosxxsinx222x0=lim2sin2x2x02lim22x0xsinxsinxx2221sinxx22sin2x22122x2

2注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要

极限法。

[解法三]: lim1cosxxsinx222x0lim1cosxxx222x0lim2xsinx4x32x02xsinxlim2x04xx212

注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换

法以及罗比塔法则

[解法四]:

(x)lim1cosxxsinx222x022lim1cosxx42x0x22sinxlimx024xx22sinx12

注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。

[解法五]: 1cosxxsinx2222sinlimx02x2limx02lim2limx0x(x)x0xsinxx2(x2)21x412

注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。

[解法六]： 令ux 2lim1cosxxsinx222x0limcosu1cosuusinuu0lim12sinusinuucosuu0

limu0cosucosuusinu注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。

[解法七]: lim1cosxxsinx222x0limsinx2222x0xcosxsinxlim11x22x012

tgx注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。

(作者: 黄文羊)

第4篇：高数极限算法

极限计算方法总结

靳一东

《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的

blim0(a,b为常数且a0)；极限严格定义证明，例如：nan|q|1时0，当nlim(3x1)5；limq；等等 nx2不存在，当|q|1时（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需

再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB

（2）limf(x)g(x)AB

f(x)

g(x)AB（3）lim,(此时需B0成立)

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，

不能用。

3．两个重要极限

（1） limsinx

xx01

11xxlim(1)elim(1x)e（2）；xxx0

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 1

例如：limsin3x

3xx01，lim(12x)x02xe，lim(1x)3e；等等。 xx

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：1

x～sin

x～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1 。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价

关系成立，例如：当x0时，

e

3x

1 ～ 3x ；ln(1x2) ～ x

。

定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当lim

f1(x)g1(x)f1(x)g1(x)

xx0

存在时，lim

f(x)g(x)

也存在且等于

xx0

f(x)lim

f1(x)g1(x)

xx0

，即lim

f(x)g(x)

xx0

=lim

xx0

。

5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：

（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

（3）lim

f(x)g(x)

存在（或是无穷大）；

则极限lim

f(x)g(x)

也一定存在，且等于lim

f(x)g(x)

，即lim

f(x)g(x)

=lim

f(x)g(x)

。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不

满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“

00

”型或“



”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕

后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注

意条件。

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间

内的一点，则有limf(x)f(x0) 。

xx0

7．极限存在准则

定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。

定理8（准则2） 已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：

（1） ynxnzn,(n1,2,3,)

（2） limyna，limzna

n

n

则极限limxn

n一定存在，且极限值也是a ，即limxn

na。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1lim

3x12x1

x

13x1)2



2解：原式=lim

(lim

3x3



3x1

(x1)(3x12)

x1

(x1)(3x12)

。

注：本题也可以用洛比达法则。 例2lim

n(n2

n1)n

n[(n2)(n1)]分子分母同除以

n

解：原式=lim

3n

n2

n1

lim

3n

1

22

n



1n

n例3 lim

(1)3n

n

2n

3

n

上下同除以3

n

(1n

解：原式



lim3

)11n 。 (2n

)12． 利用函数的连续性（定理6）求极限

例4 limx2

ex

x2

解：因为xx2

ex

02是函数f(x)的一个连续点，

所以原式=22

e24e 。 3． 利用两个重要极限求极限 例5 lim

1cosxx0

3x

2sin

x2sin

x

解：原式=limx0

3x

lim

1

x0 。

12(x26

)

注：本题也可以用洛比达法则。

。

例6 lim(13sinx)x

x0

16sinx

6sinx

解：原式=lim(13sinx)

3sinx

x

lim[(13sinx)3sinx]

x0

x0

例7 lim(

n2n

n

n1

)

3n13n

n1

3n解：原式=lim(1

3

n1



33

]n1

e

3

n

n1

)lim[(1n

n1

)

4． 利用定理2求极限 例8 limx2

sin

1x0

x

解：原式=0 （定理2的结果）。 5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9 lim

xln(13x)x0

arctan(

x2

)

解：x0时，ln(13x)～3x，arctan(x2)～x2

，

 原式=lim

x3xx

3 。

x0

例10 lim

exe

sinx

x0

xsinx

e

sinx

(exsinx

1)

sinx

解：原式=lim

(xsinx)

x0

xsinx

lim

ex0

xsinx

1 。

注：下面的解法是错误的： xsinx

原式=lim

(e1)(e

1)

xsinxx0

xsinx

lim

1x0

xsinx

。

正如下面例题解法错误一样：lim

tanxsinx

x

lim

xx0x0

x0

x

。

tan(x2

sin

1例11 lim

x

)

x0

sinx

e

6

。

。

解：当x0时，x2sin

1x

是无穷小，tan(xsin

1x

)与xsin

1x

等价，

xsin

所以，原式=lim

x0

xlimxsin10

。（最后一步用到定理2）

x0xx

6． 利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。 例12 lim

1cosx3x

x0

（例4）

解：原式=lim

sinx6x

x0



16

。（最后一步用到了重要极限）

cos

例13 lim

x1

x

x1



sin

1x



。 2

解：原式=lim

x1

例14 lim

xsinxx

x0

解：原式=lim

1cosx3x

x0

=lim

sinx6x

x0



16

。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

例15 lim解：

sinxxcosx

xsinx

x0

原式lim

lim

sinxxcosx

xxxsinx3x

22

x0

lim

cosx(cosxxsinx)

3x

x0

x0



1

3例18 lim[

x0

1x



1ln(1x)

]

1x

1x

解：错误解法：原式=lim[

x0



]0 。

正确解法：

原式lim

ln(1x)xxln(1x)11x2x

1

x0

lim

x0

ln(1x)x

xx

lim

x0

lim

x2x(1x)

x0



12

。

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 例19 lim

x2sinx3xcosx

x

解：易见：该极限是“

00

”型，但用洛比达法则后得到：lim

12cosx3sinx

x

，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

1

原式=lim

x

2sinx

x

（分子、分母同时除以x） cosxx

3

=

13

（利用定理1和定理2）

7． 利用极限存在准则求极限

例20 已知x1

2,xn1

2xn,(n1,2,)，求limxn

n

解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0\n

xn\n

n

limxna。对已知的递推公式 xn1

n

2xn两边求极限，得：

a所以

2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）

limxn2。 n

1n1nnn

22

n

例21 lim(

1n2



1nn

)

1nn

解： 易见：

n1



1n2



nn1

因为 limn

nnn

1，lim

nn1



n

1

1nn

所以由准则2得：lim(

n

n1

n2



)1 。

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。

第5篇：高数极限和连续

第二章 极限和连续 【字体：大 中 小】【打印】

数列极限

一、概念的引入（割圆术）

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽

正六边形的面积A

1 正十二边形的面积A2

n-1

正6×2形的面积An

A1，A2，A3，„，An，„→„S

二、数列的定义

定义:按自然数1，2，3„编号依次排列的一列数x1，x2，„，xn，„ （1）

称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项，xn称为通项（一般项）。数列（1）记为{ xn }。

例如

nn

2，4，8，„，2，„；{ 2}

注意：

（1）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取

（2）数列是整标函数xn=f（n）

三、数列的极限

1.定义 设{xn}是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，xn无限接近于常数a，则称数列{ xn }收敛，a是数列{ xn }的极限，或者称数列xn收敛于a，记为

。

如果数列没有极限，就说数列是发散的。

例如

nn

2，4，8，„，2，„；{ 2}，发散

，发散

收敛于0

2.数列极限的性质 （1）唯一性

定理 每个收敛的数列只有一个极限。 （2）有界性

定义: 对数列xn， 若存在正数M，使得一切自然数n, 恒有|xn|≤M成立, 则称数列xn有界，否则，称为无界。

例如，数列有界，数列无界

数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间[-M，M]上。

定理 收敛的数列必定有界。

注意：有界性是数列收敛的必要条件。 推论 无界数列必定发散。 （3）保号性

收敛数列的保号性：假设数列{αn}收敛，其极限为α，

1）若有正整数N，n＞N时，αn＞0（或＜0），则α≥0（或α≤0） 2）若α＞0（或＜0，则有正整数N，使得当n＞N时，αn＞0（或＜0）

级数

1.级数的定义:

称为数项无穷级数（或简称数项级数），un为一般项。

2.级数的部分和

3.部分和数列

4.级数的收敛与发散

当n无限增大时，如果级数的部分和数列Sn有极限S， 即则称无穷级数收敛,这时极限S叫做级数的和,并写成。

如果Sn没有极限，则称无穷级数

数项级数收敛

存在

发散。

例1.讨论等比级数（几何级数）

（a≠0）的收敛性。

【答疑编号：针对该题提问】

解：如果q≠1时，

当|q|＜1时,

当|q|＞1时

如果|q|=1时

当|q|=1时，

，级数发散

收敛 发散

当q=-1时，级数变为α-α+α-α+„

不存在，级数发散

综上

例2.（56页1（3））判断下列级数的敛散性，并在收敛时求出其和：

【答疑编号：针对该题提问】

解：

由

得级数收敛，其和为。

例3.判断级数的敛散性

【答疑编号：针对该题提问】

例4.判断级数的敛散性，并在收敛时求出其和

【答疑编号：针对该题提问】

例5.判别无穷级数

的收敛性。

【答疑编号：针对该题提问】

解

∴级数收敛，和为。

函数极限

两种情形:

（1）x→∞情形：

（2）x→x0情形：

一、自变量趋于无穷大时函数的极限

定义：设M是任意一个正数，函数f（x）在

上有定义，如果存在常数A，当|x|无限增大（即|x|→∞）时，f（x）无限接近于A，则称A为函数f(x)当x→∞时的极限，或简称为f（x）在无穷大处的极限，记为

或f(x)→A，当x→∞时。

定理：

例1.（60页例

5、例6）求下列函数的极限

（1）

【答疑编号：针对该题提问】

（2）

【答疑编号：针对该题提问】

解：对于函数

对于函数f（x）=arctanx，由反正切曲线y=arctanx的图形，易见

所以，极限

例2.

不存在。

【答疑编号：针对该题提问】

例3.

【答疑编号：针对该题提问】

例4.

【答疑编号：针对该题提问】

二、函数在有限点处的极限（自变量趋于有限值时函数的极限）

1.定义：给定函数y=f（x）在（x∈D）上有定义，假设点x0的某一去心邻域，如果存在常数A，使得当x→x0时，函数值f（x）无限接近于A，则称A为函数f（x）当x→x0时的极限，记为

或 f（x）→A，当x→x0时。

2.单侧极限

定义：设 f（x）在x0的一个左邻域中有定义，如果存在常数A，使得当相应的函数值（fx）无限接近于A，则称A为函数f(x)当 时的左极限，记为

定理：

时，或（fx0-0）。

例页2：（5）（6）（7）

求函数在指定点的左右极限，判定该点极限是否存在。

（5） x=2

【答疑编号：针对该题提问】

（6） x=0

【答疑编号：针对该题提问】

（7），x=0

【答疑编号：针对该题提问】

问题：函数y=f（x）在x→x0的过程中，对应函数值f（x）无限趋近于确定值A。

例6.求

【答疑编号：针对该题提问】

注意：函数极限与f（x）在点x0是否有定义无关

三、函数极限的性质 1.唯一性

定理 若limf(x)存在，则极限唯一。 2.有界性

定理 （有极限函数的局部有界性）假设中有界，即有常数M＞0，使得在x0的某个去心邻域

3.保号性

若

推论

存在，则f（x）在x0点的某个邻域

中，有

，且A＞0（或A＜0）

若时

f(x)≥0（或f(x)≤0），则A≥0（或A≤0）

四、小结

函数极限的统一定义

极限的运算法则

一、极限运算法则

定理

设

（1）

（2）

，则

（3）

例7.【答疑编号：针对该题提问】

推论1

如果lim f(x)存在，而c为常数，则

常数因子可以提到极限记号外面。

推论2

如果lim f(x)存在，而n是正整数，则

二、求极限方法举例

例8.求

【答疑编号：针对该题提问】

解

（直接代入法）

例9.求。

【答疑编号：针对该题提问】

解：x→1时，分子，分母的极限都是零。（型）

（消去零因子法或因式分解法）

例10.求

【答疑编号：针对该题提问】

解：先变形再求极限。

。

例11.求

【答疑编号：针对该题提问】

三、小结

1.极限的四则运算法则及其推论； 2.极限求法

a.多项式与分式函数代入法求极限； b.因式分解法消去零因子求极限； c.通分法

d.利用左右极限求分段函数极限。

无穷小和无穷大

一、无穷小

1.定义：极限为零的变量称为无穷小。

函数f（x）当x→x0 （或x→∞）时为无穷小，记作

例如，

，∴函数sinx是当x→0时的无穷小。

，∴函数是当x→∞时的无穷小。

，∴数列是当n→∞时的无穷小。

注意：

（1）无穷小是变量，不能与很小的数混淆； （2）零是可以作为无穷小的唯一的数。 2.无穷小与函数极限的关系：

其中α（x）是当x→x0时的无穷小。

定理

3.无穷小的运算性质：

（1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 （2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。 （3）有界变量与无穷小的乘积是无穷小。

例如，当x→0时，

二、无穷大

1.定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大。

函数f（x）当x→x0 （或x→∞）时为无穷大，记作

。

2.特殊情形：正无穷大，负无穷大。

注意：

（1）无穷大是变量，不能与很大的数混淆； （2）切勿将 认为极限存在。

（3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大。

例如，

三、无穷小与无穷大的关系

是无界变量不是无穷大。

1.定理 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。

2.意义：关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论。

例1.求。

【答疑编号：针对该题提问】

解：

又

商的法则不能用

由无穷小与无穷大的关系,得

例2.求。

【答疑编号：针对该题提问】

解：x→∞时，分子，分母的极限都是无穷大。（

先用x3去除分子分母，分出无穷小，再求极限。

型）

（无穷小因子分出法）

例3.求

【答疑编号：针对该题提问】

例4.求

【答疑编号：针对该题提问】

小结：当

，m和n为非负整数时有

无穷小分出法：以分子、分母中自变量的最高次幂除分子，分母，以分出无穷小，然后再求极限。

例5.

【答疑编号：针对该题提问】

例6.求

【答疑编号：针对该题提问】

例7.求

【答疑编号：针对该题提问】

例8（2007年10月）

【答疑编号：针对该题提问】

例9（2007年10月）、下面A、B、C、D四个极限中，哪一个极限存在（）

A.

D.

【答疑编号：针对该题提问】

答案：D

例10（2007年4月）

（ ）

C.-1

D.不存在

【答疑编号：针对该题提问】 答案：B

例11（2007年7月）

【答疑编号：针对该题提问】

计算

例12（2005年）计算

【答疑编号：针对该题提问】

两个重要极限

关于

例

1、计算

【答疑编号：针对该题提问】

解：

例

2、

【答疑编号：针对该题提问】

解：

例

3、80页第1题（5）

【答疑编号：针对该题提问】

解：

例

4、

【答疑编号：针对该题提问】

解：

例

5、

【答疑编号：针对该题提问】

解：

例

6、判断四个极限分别属于哪一种类型：

（1）

【答疑编号：针对该题提问】

（2）

【答疑编号：针对该题提问】

（3）

【答疑编号：针对该题提问】

（4）

【答疑编号：针对该题提问】

解：

解：

例

7、求

【答疑编号：针对该题提问】

解

关于

例

1、求

【答疑编号：针对该题提问】

解：

例

2、

【答疑编号：针对该题提问】

解：

例

3、

【答疑编号：针对该题提问】

解：

例

4、

【答疑编号：针对该题提问】

解：

方法一：

方法二：

例

5、

【答疑编号：针对该题提问】

解：

例

6、

【答疑编号：针对该题提问】

解：

例

7、

【答疑编号：针对该题提问】

解：

例

8、

【答疑编号：针对该题提问】 解： 方法一：

方法二：

例

9、81页4题（8）

【答疑编号：针对该题提问】

解：

小结：

第一类重要极限：

第二类重要极限：

无穷小的比较

例如，当x→0时，

观察各极限

都是无穷小。

，x比3x要快得多； 2 ，sinx与x大致相同；

不存在，不可比。

极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不同。

定义：

设α，β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0.

（1）如果，就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o（α）；

（2）如果，就说β与α是同阶的无穷小；

特殊地如果

等价无穷小：

，则称β与α是等价的无穷小；记作α～β；

例：

【答疑编号：针对该题提问】

例：

【答疑编号：针对该题提问】

得：当x→0时，

例：

（1）73页8题：

当x→∝时，a，b，c应满足什么条件可使下式成立？

（1）

（2）

等价无穷小代换

等价代换原理：在同一极限过程中的三个变量u，v，w，如果u，v是无穷小量，且等价，则有

，

由

得：当x→0时，

常用等价无穷小：

当x→0时，

牢记常用的等价无穷小：

当x→0时，

例：

【答疑编号：针对该题提问】

例：

【答疑编号：针对该题提问】

例

求

【答疑编号：针对该题提问】

错解

当x→0时，

解

当x→0时，

例

（1）80页1题（7）

【答疑编号：针对该题提问】

（2）80页1题（9）

【答疑编号：针对该题提问】

（3）80页1题（10）

【答疑编号：针对该题提问】

（4）80页2题：设

【答疑编号：针对该题提问】

，求a，b

例：94页3题（4）：

【答疑编号：针对该题提问】

例：94页4题（1）：证明当时，sin（2cosx）与是同阶无穷小。

【答疑编号：针对该题提问】

例：81页8题：设

【答疑编号：针对该题提问】

，求k。

小结

1.两个重要极限

2.无穷小的比较： 反映了同一过程中，两无穷小趋于零的速度快慢，但并不是所有的无穷小都可进行比较.高（低）阶无穷小；等价无穷小； 3.等价无穷小的替换：

求极限的又一种方法，注意适用条件.

函数的连续性和连续函数

一、函数的连续性

1.函数的增量

设函数f（x）在

内有定义，

称为自变量在点

的增量。

2.连续的定义

定义1 设函数f（x）在的函数的增量f（x）在点

定义2 设函数f（x）在也趋向于零，即连续，

称为

内有定义，如果当自变量的增量

或

的连续点.

趋向于零时，对应，那么就称函数

内有定义，如果函数

当

时的极限存在，且

第6篇：高数极限求法总结

首先说下我的感觉， 假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根， 函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎， 可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先 对 极限的总结 如下

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致

1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则 （大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！

必须是 X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！）

必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！

当然还要注意分母不能为0 落笔他 法则分为3中情况

1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用

2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （ 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）

3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 ！！！！）

E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化

10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式 （地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）

11 还有个方法 ，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） !!!!!! 当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中

13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，

就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用 证明单调性！！！！！！

16直接使用求导数的定义来求极限 ，

（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式， 看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！！！）

（从网上发现，谢谢总结者）

函数极限证明

重要极限证明

极限证明（共8篇）

高数证明题

年限证明